复印纸的尺寸复印纸的尺寸 — 6数学教学2006年第5期 三,编选方法 编选过程有数学教育研究所筹划.具体编选 工作由编选委员会负责.编选委员会的负责人 为熊斌(华东师范大学数学系),张思明q匕京大 学附属中学),沈翔(上海市教委教研室),然后在 全国各地聘请委员.同时聘请一些数学教育专 附中学数学原创题 家,问题专家为顾问. 四,来稿地址与截稿日期 欢迎各位踊跃投稿,来稿请寄:200062,上海 中山北路3663号华东师范大学数学系熊斌.电 子邮件发至截稿日期:2006年...

  复印纸的尺寸 — 6数学教学2006年第5期 三,编选方法 编选过程有数学教育研究所筹划.具体编选 工作由编选委员会负责.编选委员会的负责人 为熊斌(华东师范大学数学系),张思明q匕京大 学附属中学),沈翔(上海市教委教研室),然后在 全国各地聘请委员.同时聘请一些数学教育专 附中学数学原创题 家,问题专家为顾问. 四,来稿地址与截稿日期 欢迎各位踊跃投稿,来稿请寄:200062,上海 中山北路3663号华东师范大学数学系熊斌.电 子邮件发至截稿日期:2006年1O月31日. 复印纸的尺寸 100080北京大学附属中学张思明 【问题的由来】常用的复印纸的型号有A4, A5,B4,B5等等.有一天,我在中关村上行走,突 然在某大型复印机专业公司服务部的门面上看 到贴出的如下广告:本部承接超大型

  图纸 复印业务,规格可达A1,Bl大小……好奇的 我立刻联想到下面的问题,Al,B1的复印纸有多 大?能不能根据手边的几种常见的复印纸的大 小,推算出A1及B1复印纸的大小?它们的尺寸 之间有什么数量关系? 【问题】能不能根据手边的几种常见的复 印纸的大小(如A4,A5,B4,B5复印纸)推算出 Al及B1复印纸的大小?它们的尺寸之间有什 么数量关系? 【解析l(1)先观察若干复印纸的样品,容 易发现如图1所示的规律: 图1 (2)利用文字处理软件(如Word,WPS等软 件)的页面设置栏目下的信息,可以具体查出 A4,A3,Bs~B4的尺寸如下(单位:mm): 复印纸的型号长宽 A429721o A3420297 B5257182 B4364257 我们大家可以发现,At复印纸的宽度与Ai+1复 印纸的长度一样,A复印纸的长度是A冲l复印 纸宽度的两倍.我们用cAi和kAi分别表示At复 印纸的长和宽,上面的发现可以表示成: kAi:cAt+1,cAi:=:2kAi+l,i=l,2,???. 这样我们大家可以通过简单的递推得到A1复印 纸的尺寸: cA1=2kA2:==2cA3:2(2kA4)=4kA4= 4×210=840(mm); kA1=cA2-v-2kAa=2cA4=2×297= 594(mm). 同样地,我们用cBi和kBt分别表示Bi复印 纸的长和宽,有类似的规律如下: kBi=cBi+l,cB2kB~+t,i===1,2,…. 同样,我们能够最终靠简单的递推得到Bl型 复印纸的尺寸: cB1=2kB2:2cB3=2(2kB4)=4kB4= 4×257=1028(mm); kB1=cB2=2kB3=2cB4=2×364= 728(mm). (3)进一步的思考和发现: 长得 我们观察各种型号复印纸,感到它们 都很像,我们大家可以猜想它们应该相似,为此,我 们将表中的相邻的两行数做商发现: ??;??-. 这就印证了我们的发现,.而且它们满足相 似形的面积比等于相似比的平方,即如果我们 用&,来分别表示Al,Bt复印纸的面积,则有 &=2Si+1,=2+1.这和直接观察的结果 是一致的.进一步有如下递推关系: 2006年第5期数学教学5-47 A?v~kAi+,,cAi,~v/2cAi+1, cBi?,//2cB+l,kBi,~,/2Bi+l,i=l,2,?一. 于是,我们叉可以得到这样的近似结果: cA?v~kAi,cBl?v~kBi,i=1,2,?一. 这些发现的意义在于我们大家可以仅通过A系 列各型复印纸的一个尺寸(如A4的长),近似推 出A系列各型复印纸所有的尺寸.对B系列也是 如此. (4)跨类别的思考:A系列和B系列这两系 列复印纸之间还有什么关系? 我们大家可以这样定义:优美矩形列一以,, ,…, 它们中的每一个矩形自己的长与宽之比 为,//2;,+l相似且相似比也为,/2.前面的 讨论告诉我们,A系列和B系列复印纸都是优 美矩形列. 我们自然会问有了A系列的复印纸,为什么 还要

  B系列复印纸?为此我们注意到在A系 列中,由A4变到A3时,纸的面积扩大到原来的 两倍,这个变化过于剧烈了,如果我们大家可以插 值的话,一定最希望插入一个中间项,它的面 积变化最好是扩大到原来的1.5倍.带着这种期 待,我们来算一下: B4的面积:364×257=93548, A4的面积:297×210=62370. B4与A4的面积之比=1.4998878?1.5, 与我们的期待非常吻合.这样我们甚至知道了 Bt与A之间的相似比为,//1.5,即 kBi,~,/,1.5kA{,cBi,~v/1.5cA{,i--1,2,…. 这些发现的意义在于我们大家可以仅通过A或B 系列各型复印纸的某一个尺寸(如A4的长),近似 推出A,B系列各型复印纸所有的尺寸.下面是其 中的一个计算线索图,其实还有许多不同的计算 途径. kA5B5磐cB5… n?2 cA4驾A4南B4驾cB4... jl cA3圭;A3B3cB3… 2 ,.一 cA2驾A2B2驾cB2… 【发表记录】首次发表. 【问题拓展】我们类似地能解决报纸,常 见标准尺寸的出版物的尺寸推算,如根据手中常 见的32开的课本的尺寸,估算16开,8开,4开,2 开,1开出版物的尺寸. 将优美矩形列推广到三维空间,会得到怎 样的优美长方体列,又会有怎样的性质? 将优美矩形列推广到图2所示的情景,叉 会有怎样的性质? 图2 说明:据查有关标准,Al的尺寸为594X841,B1 的尺寸为728X1030,由于裁切的原因,与上述计算 结果略有误差.一编辑注. 平均数可能不代表中等水平 402168重庆文理学院梁绍君 此题来源于现实问题,经过抽象之后可以对 平均数的含义有更深的理解. 【问题的由来】笔者在组织部工作期间,常 常要到教职工中作民意调查,以便为调整部门领 导班子时提供依据.一次,从事前摸底得知,某教 师进入领导班子的支持率超过平均数,而该教师 具备干部任职的其他条件,进入领导班子的呼声 较高.但经正式投票,该教师却意外落选,而实 际投票结果与事前摸底又基本一致.此事引起了 笔者的注意.仔细

  之后,原因是:当特异值 出现之后,平均数有时并不能代表中等水平.于 是设计了以下的问题. 【问题】高--(2)班有45人,拟采用无记名 投票方式从5名候选人中选出3名干部.选举规

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